Происхождение названия города связано со старинной молдавской боярской семьёй по фамилии Хынку, которая владела поместьем, расположенным в этих краях. Главой этой семьи был сердар Михалча Хынку, являвшийся, пожалуй, самой известной личностью в истории края Лэпушна.

Наиболее ранним письменным упоминанием о существовании поселения Хынчешть считается запись на страницах псалтыря, которая свидетельствует о том, что псалтырь был куплен Думитру Бежаном из Гынчешть. По причине повреждённой страницы год не может быть установлен с точностью, однако историки утверждают, что эта книга была куплена между 1653—1658 годами во времена господаря Георге Штефана.

После распада Советского Союза инфраструктура города Хынчешть оказалась в неудовлетворительном состоянии. По состоянию на 2010-е годы город почти полностью газифицирован. Хынчешть располагает пятью детсадами и запланировано строительство нового современного детского сада. Благодаря помощи Министерства экологии были приобретены 3 специализированные машины для уборки городских улиц.